\documentclass[t,12pt,aspectratio=169]{beamer} % 16:9 宽屏比例，适合现代投影
\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb, bm} % 数学公式与符号
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{高中数学第十一章 - 空间向量与立体几何}
\subtitle{第三节 - 空间向量及其运算的坐标表示}
\author{人教版}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 标题页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
%\begin{frame}[allowframebreaks]{Contents}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item 11.3.1. 空间直角坐标系
\item 11.3.2. 空间向量运算的坐标表示
\end{itemize}

\end{frame}


%请阅读下述段落，理解中心思想，然后重新组织语句，用清晰流畅的口语方式表达。注意碰到数学公式的时候，请转换成自然语言，避免出现latex控制字符串。最后用markdown格式，输出可以朗读讲解的脚本：


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.3. 引言 }

学习了空间向量基本定理，建立了“{\color{red}空间基底}”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把{\color{red}空间向量的运算}转化为{\color{red}基向量的运算}。

所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础。

在平面向量中，我们以{\color{red}平面直角坐标系}中与 $x$ 轴、$y$ 轴方向相同的两个单位向量 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算。

\newpage 


类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立{\color{red}空间直角坐标系}，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？

下面我们就来研究这个问题。

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%11.3.1.
\section{空间直角坐标系}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.3.1. }

我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成。

利用{\color{red}单位正交基底}概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系。

如图 1.3-1，在平面内选定一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}\}$，以 $O$ 为原点，分别以 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：$x$ 轴、$y$ 轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.3-1}
% \end{figure}

类似地，在空间选定一点 $O$ 和一个{\color{red}单位正交基底} $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$（图 1.3-2）。

以点 $O$ 为原点，分别以 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们都叫做坐标轴。

这时我们就建立了一个{\color{red}空间直角坐标系} $Oxyz$，$O$ 叫做原点，$\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 都叫做{\color{red}坐标向量}，通过每两条坐标轴的平面叫做{\color{red}坐标平面}，分别称为 $Oxy$ 平面、$Oyz$ 平面、$Ozx$ 平面，它们把空间分成八个部分。

画空间直角坐标系 $Oxyz$ 时，一般使 $\angle xOy=135^\circ$（或 $45^\circ$），$\angle yOz=90^\circ$。

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 $x$ 轴的正方向，食指指向 $y$ 轴的正方向，如果中指指向 $z$ 轴的正方向，则称这个坐标系为{\color{red}右手直角坐标系}。

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.3-2}
% \end{figure}

\newpage 

\textbf{探究:}

在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。

对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？


\newpage 

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中（图 1.3-3），$\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 为坐标向量，对空间任意一点 $A$，对应一个向量 $\overrightarrow{OA}$，且点 $A$ 的位置由向量 $\overrightarrow{OA}$ 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使
\[
\overrightarrow{OA} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}.
\]

在单位正交基底 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 下与向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应的有序实数组 $(x, y, z)$，叫做点 $A$ 在空间直角坐标系中的{\color{red}坐标}，记作 $A(x, y, z)$，其中 $x$ 叫做点 $A$ 的{\color{red}横坐标}，$y$ 叫做点 $A$ 的{\color{red}纵坐标}，$z$ 叫做点 $A$ 的{\color{red}竖坐标}。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.3-3}
% \end{figure}

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，给定向量 $\boldsymbol{a}$，作 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$（图 1.3-4）。

由空间向量基本定理，存在唯一的{\color{red}有序实数组} $(x, y, z)$，使
\[
\boldsymbol{a} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}.
\]

有序实数组 $(x, y, z)$ 叫做 $\boldsymbol{a}$ 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的{\color{red}坐标}，上式可简记作
\[
\boldsymbol{a} = (x, y, z).
\]

这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.3-4}
% \end{figure}

符号 $(x, y, z)$ 具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分。


\newpage 

\textbf{探究:}

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，对空间任意一点 $A$，或任意一个向量 $\overrightarrow{OA}$，你能借助几何直观确定它们的坐标 $(x, y, z)$ 吗？


\newpage 

\textbf{例1.}

如图 1.3-6，在长方体 $OABC-D_1A_1B_1C_1$ 中，$OA=3$, $OC=4$, $OD_1=2$，以 $\left\{\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{OD_1}\right\}$ 为{\color{red}单位正交基底}，建立如图所示的空间直角坐标系 $Oxyz$. 

(1) 写出 $D_1, C, A_1, B_1$ 四点的坐标；

(2) 写出向量 $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{B_1B}$, $\overrightarrow{A_1C_1}$, $\overrightarrow{AC_1}$ 的坐标。



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (3,0,0);
        \coordinate (B) at (3,4,0);
        \coordinate (C) at (0,4,0);
        \coordinate (A1) at (3,0,2);
        \coordinate (B1) at (3,4,2);
        \coordinate (C1) at (0,4,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (O) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (O) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above left] {$O$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (O) -- (D1);

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的线段
        \draw[dashed] (A) -- (C1);
        \draw[dashed] (A1) -- (C1);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-6}
    \label{fig:1.3-6}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{解：} (1) 

点 $D_1$ 在 $z$ 轴上，且 $OD_1=2$，所以 $\overrightarrow{OD_1} = 0\boldsymbol{i} + 0\boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k}$. 所以点 $D_1$ 的坐标是 $(0, 0, 2)$. 

同理，点 $C$ 的坐标是 $(0, 4, 0)$. 

点 $A_1$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的射影分别为 $A, O, D_1$，它们在坐标轴上的坐标分别为 $3, 0, 2$，所以点 $A_1$ 的坐标是 $(3, 0, 2)$.

点 $B_1$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的射影分别为 $A, C, D_1$，它们在坐标轴上的坐标分别为 $3, 4, 2$，所以点 $B_1$ 的坐标是 $(3, 4, 2)$.

\newpage

(2) 

$\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{OC} = 0\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 0\boldsymbol{k} = (0, 4, 0)$；

$\overrightarrow{B_1B} = -\overrightarrow{OD_1} = 0\boldsymbol{i} + 0\boldsymbol{j} - 2\boldsymbol{k} = (0, 0, -2)$；

$\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{D_1C_1} = -3\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 0\boldsymbol{k} = (-3, 4, 0)$；

$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CC_1} = -3\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k} = (-3, 4, 2)$.


\newpage 

\textbf{练习1.} 在空间直角坐标系中标出下列各点：
$A(0, 2, 4), B(1, 0, 5), C(0, 2, 0), D(1, 3, 4)$。


\newpage 

\textbf{练习2.} 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，

(1) 哪个坐标平面与 $x$ 轴垂直？哪个坐标平面与 $y$ 轴垂直？哪个坐标平面与 $z$ 轴垂直？

(2) 写出点 $P(2, 3, 4)$ 在三个坐标平面内的射影的坐标。

(3) 写出点 $P(1, 3, 5)$ 关于原点成中心对称的点的坐标。


\newpage 

\textbf{练习3.} 在长方体 $OABC-D'A'B'C'$ 中，$OA=3, OC=4, OD'=3$，$A'C'$ 与 $B'D'$ 相交于点 $P$，建立如图所示的空间直角坐标系 $Oxyz$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 3 题)}
% \end{figure}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%11.3.2.
\section{空间向量运算的坐标表示}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.3.2. }

\textbf{探究:}

有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？

设
$
\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3),
$
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
\begin{align*}
\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} &= (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3), \\
\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} &= (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3), \\
\lambda \boldsymbol{a} &= (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3), \quad \lambda \in \mathbb{R}, \\
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
\end{align*}

下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示。

设 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 为空间的一个单位正交基底，则
\[
\boldsymbol{a} = a_1 \boldsymbol{i} + a_2 \boldsymbol{j} + a_3 \boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{b} = b_1 \boldsymbol{i} + b_2 \boldsymbol{j} + b_3 \boldsymbol{k},
\]

所以
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (a_1 \boldsymbol{i} + a_2 \boldsymbol{j} + a_3 \boldsymbol{k}) \cdot (b_1 \boldsymbol{i} + b_2 \boldsymbol{j} + b_3 \boldsymbol{k}).
\]

利用向量数量积的分配律以及
\[
\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k} = 1, \quad \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i} = 0,
\]

得
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
\]

由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的。

\newpage

例如，我们有：

一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

类似地运用运算的坐标表示，我们还可以得到：

当 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ 时，$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} \Leftrightarrow a_1 = \lambda b_1, \; a_2 = \lambda b_2, \; a_3 = \lambda b_3 \; (\lambda \in \mathbb{R})$；

$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$；

$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$；

$\cos(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$.

其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。


\newpage 

\textbf{探究:}

你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？

如图 1.3-7 建立空间直角坐标系 $Oxyz$，设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，$P_2(x_2, y_2, z_2)$ 是空间中任意两点，则

\[
\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1).
\]

于是

\begin{align*}
|\overrightarrow{P_1P_2}| &= \sqrt{\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}} \\
&= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.
\end{align*}

所以

\[
P_1P_2 = |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.
\]

这就是空间两点间的距离公式。

将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。


\newpage 

\textbf{例2.}
如图 1.3-8，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E, F$ 分别是 $BB_1, D_1B_1$ 的中点。求证 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{DA_1}$. 

\vspace{-1cm}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (1,0,0);
        \coordinate (B) at (1,1,0);
        \coordinate (C) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (1,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,1,1);
        \coordinate (C1) at (0,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,0,1);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (O) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[above right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[above right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,0.5,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,0.5) node[above] {$\mathbf{z}$};

        %
        \coordinate (E) at (1,1,0.5);
        \coordinate (F) at (0.5,0.5,1);
        \fill[blue] (E) circle (1.0pt) node[right] {$E$};
        \fill[blue] (F) circle (1.0pt) node[right] {$F$};

        % 待研究的线段
        \draw[thick] (D1) -- (B1);
        \draw[dashed] (D) -- (A1);
        \draw[dashed] (E) -- (F);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-8}
    \label{fig:1.3-8}
\end{figure}




\textbf{分析：} 要证明 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{DA_1}$，只要证明 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DA_1} = 0$。我们只要用坐标表示 $\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{DA_1}$，并进行数量积运算即可。


\newpage 

\textbf{证明：} 不妨设正方体的棱长为 1，建立如图 1.3-8 所示的空间直角坐标系 $Oxyz$，则
\[
E(1, 1, \frac{1}{2}), \quad F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1),
\]

所以 $\overrightarrow{EF} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. 

又 $A_1(1, 0, 1), D(0, 0, 0)$, 所以 $\overrightarrow{DA_1} = (1, 0, 1)$.

所以 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DA_1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cdot (1, 0, 1) = 0$.

所以 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{DA_1}$，即 $EF \perp DA_1$. 


你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？

\newpage 

\textbf{例3.}

如图 1.3-9，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 为 $BC_1$ 的中点，$E_1, F_1$ 分别在棱 $A_1B_1, C_1D_1$ 上，$B_1E_1 = \frac{1}{4} B_1A_1$, $D_1F_1 = \frac{1}{4} D_1C_1$. 

(1) 求 $AM$ 的长。

(2) 求 $BE_1$ 与 $DF_1$ 所成角的余弦值。


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.5, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (1,0,0);
        \coordinate (B) at (1,1,0);
        \coordinate (C) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (1,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,1,1);
        \coordinate (C1) at (0,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,0,1);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (O) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (O) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[above right] {$C$};
        \fill[blue] (O) circle (1.0pt) node[below right] {$O$};
        \fill[blue] (O) circle (1.0pt) node[left] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[above left] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (O) -- (D1);

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (0.5,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,0.5,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,0.3) node[above] {$\mathbf{z}$};

        %
        \coordinate (E1) at (1,0.75,1);
        \coordinate (F1) at (0,0.25,1);
        \coordinate (M) at (0.5,1,0.5);
        \fill[blue] (E1) circle (1.0pt) node[above] {$E_1$};
        \fill[blue] (F1) circle (1.0pt) node[above] {$F_1$};
        \fill[blue] (M) circle (1.0pt) node[right] {$M$};

        % 待研究的线段
        \draw[thick] (B) -- (C1);
        \draw[thick] (B) -- (E1);
        \draw[dashed] (A) -- (M);
        \draw[dashed] (O) -- (F1);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-9}
    \label{fig:1.3-9}
\end{figure}




\newpage 

\textbf{分析：}

(1) 利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 $A, M$ 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 $AM$ 的长。

(2) $\overrightarrow{BE_1}$ 与 $\overrightarrow{DF_1}$ 所成的角就是 $\overrightarrow{BE_1}, \overrightarrow{DF_1}$ 所成的角或其补角。因此，可以通过 $\overrightarrow{BE_1}, \overrightarrow{DF_1}$ 的坐标运算得到结果。


\newpage 

\textbf{解：}
(1) 建立如图 1.3-9 所示的空间直角坐标系 $Oxyz$，则点 $A$ 的坐标为 $(1, 0, 0)$，点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)$. 于是
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - 1\right)^2 + (1 - 0)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.
\]

(2) 由已知，得
$$
B(1, 1, 0), \, E_1\left(1, \frac{3}{4}, 1\right), \, D(0, 0, 0), \, F_1\left(0, \frac{1}{4}, 1\right). 
$$

所以
\begin{align*}
\overrightarrow{BE_1} &= \left(1, \frac{3}{4}, 1\right) - (1, 1, 0) = \left(0, -\frac{1}{4}, 1\right), \\
\overrightarrow{DF_1} &= \left(0, \frac{1}{4}, 1\right) - (0, 0, 0) = \left(0, \frac{1}{4}, 1\right).
\end{align*}

所以
\begin{align*}
|\overrightarrow{BE_1}| &= \frac{\sqrt{17}}{4}, \quad |\overrightarrow{DF_1}| = \frac{\sqrt{17}}{4}, \\ 
\overrightarrow{BE_1} \cdot \overrightarrow{DF_1} &= 0 \times 0 + \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + 1 \times 1 = \frac{15}{16}.
\end{align*}

所以，$\overrightarrow{BE_1}$ 与 $\overrightarrow{DF_1}$ 所成角的余弦值是
$$
\cos \langle \overrightarrow{BE_1}, \overrightarrow{DF_1} \rangle 
= \frac{\overrightarrow{BE_1} \cdot \overrightarrow{DF_1}}{|\overrightarrow{BE_1}| |\overrightarrow{DF_1}|} 
= \frac{\frac{15}{16}}{\frac{\sqrt{17}}{4} \times \frac{\sqrt{17}}{4}} = \frac{15}{17}.
$$


\newpage 

\textbf{练习1.} 已知 $\boldsymbol{a} = (-3, 2, 5)$，$\boldsymbol{b} = (1, 5, -1)$，求：

(1) $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$；

(2) $6\boldsymbol{a}$；

(3) $3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$；

(4) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。


\newpage 

\textbf{练习2.} 已知 $\boldsymbol{a} = (2, -1, 3)$，$\boldsymbol{b} = (-4, 2, x)$，且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$. 求 $x$ 的值。


\newpage 

\textbf{练习3.} 在 $z$ 轴上求一点 $M$，使点 $M$ 到点 $A(1, 0, 2)$ 与点 $B(1, -3, 1)$ 的距离相等.


\newpage 

\textbf{练习4.} 如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $a$，点 $N$、$M$ 分别在 $AC$、$BC_1$ 上，$AN = 2CN$, $BM = 2MC_1$, 求 $MN$ 的长。
    


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (1,0,0);
        \coordinate (B) at (1,1,0);
        \coordinate (C) at (0,1,0);
        \coordinate (D1) at (0,0,1);
        \coordinate (A1) at (1,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,1,1);
        \coordinate (C1) at (0,1,1);
        
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[below right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[below left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[below right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 正方体顶点之外的点
        \coordinate (M) at (0.333,1,0.666);
        \coordinate (N) at (0.333,0.666,0);

        \fill[purple] (M) circle (1.0pt) node[right] {$M$};
        \fill[purple] (N) circle (1.0pt) node[below left] {$N$};
        
        % 待研究的线段
        \draw[thick,purple] (B) -- (C1);
        \draw[dashed,purple] (A) -- (C);
        \draw[dashed,purple] (M) -- (N);
        
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-练习4}
%    \label{fig:1.3-9}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{练习5.}  如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是 $AB$ 的中点，求 $DB_1$ 与 $CM$ 所成角的余弦值。


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (1,0,0);
        \coordinate (B) at (1,1,0);
        \coordinate (C) at (0,1,0);
        \coordinate (D1) at (0,0,1);
        \coordinate (A1) at (1,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,1,1);
        \coordinate (C1) at (0,1,1);
        
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[below right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[below right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 正方体顶点之外的点
        \coordinate (M) at (1,0.5,0);
        
        \fill[purple] (M) circle (1.0pt) node[below] {$M$};
                
        % 待研究的线段
        \draw[dashed,purple] (D) -- (B1);
        \draw[dashed,purple] (C) -- (M);
        
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-练习5}
%    \label{fig:1.3-9}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{复习巩固1.} 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，三个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 分别平行于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们的坐标各有什么特点？


\newpage 

\textbf{复习巩固2.} $M(x, y, z)$ 是空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标：

(1) 与点 $M$ 关于 $x$ 轴对称的点；

(2) 与点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点；

(3) 与点 $M$ 关于 $z$ 轴对称的点；

(4) 与点 $M$ 关于原点对称的点。


\newpage 

\textbf{复习巩固3.} 如图，正方体 $OABC-D_1A_1B_1C_1$ 的棱长为 $a$，$E, F, G, H, I, J$ 分别是棱 $C_1D_1, D_1A_1, A_1A, AB, BC, CC_1$ 的中点，写出正六边形 $EFGHIJ$ 各顶点的坐标。


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (1,0,0);
        \coordinate (C) at (1,1,0);
        \coordinate (D) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (0,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,0,1);
        \coordinate (C1) at (1,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,1,1);
        
        \draw[thick] (B) -- (C) -- (D);
        \draw[dashed] (D) -- (A) -- (B);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[below left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[above right] {$D_1$};

        \draw[dashed] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[thick] (D) -- (D1);

        % 正方体顶点之外的点
        \coordinate (E) at (0,0.5,1);
        \coordinate (F) at (0.5,0,1);
        \coordinate (G) at (1,0,0.5);
        \coordinate (H) at (1,0.5,0);
        \coordinate (I) at (0.5,1,0);
        \coordinate (J) at (0,1,0.5);

        \fill[purple] (E) circle (1.0pt) node[below left] {$E$};
        \fill[purple] (F) circle (1.0pt) node[below left] {$F$};
        \fill[purple] (G) circle (1.0pt) node[below left] {$G$};
        \fill[purple] (H) circle (1.0pt) node[below left] {$H$};
        \fill[purple] (I) circle (1.0pt) node[below left] {$I$};
        \fill[purple] (J) circle (1.0pt) node[below left] {$J$};
        
        % 待研究的线段
        \draw[thick,purple] (E) -- (F);
        \draw[dashed,purple] (F) -- (G);
        \draw[thick,purple] (G) -- (H);
        \draw[dashed,purple] (H) -- (I);
        \draw[thick,purple] (I) -- (J);
        \draw[dashed,purple] (J) -- (E);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-复习巩固3}
%    \label{fig:1.3-9}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{复习巩固4.} 先在空间直角坐标系中标出 $A, B$ 两点，再求它们之间的距离：

(1) $A(2, 3, 5), B(3, 1, 4)$;

(2) $A(6, 0, 1), B(3, 5, 7)$.


\newpage 

\textbf{复习巩固5.} 已知 $\boldsymbol{a} = (2, -3, 1), \boldsymbol{b} = (2, 0, 3), \boldsymbol{c} = (0, 0, 2)$。求：
(1) $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$；
(2) $\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b} - 8\boldsymbol{c}$。



\newpage 

\textbf{综合运用6.} 求证：以 $A(4, 1, 9), B(10, -1, 6), C(2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形。


\newpage 

\textbf{综合运用7.} 已知 $A(3, 5, -7), B(-2, 4, 3)$，求 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$，线段 $AB$ 的中点坐标及线段 $AB$ 的长。



\newpage 

\textbf{拓广探索8.} 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M, N$ 分别为棱 $A_1A$ 和 $B_1B$ 的中点，求 $CM$ 和 $D_1N$ 所成角的余弦值。


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (1,0,0);
        \coordinate (C) at (1,1,0);
        \coordinate (D) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (0,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,0,1);
        \coordinate (C1) at (1,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,1,1);
        
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        %\fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.0pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.0pt) node[below left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.0pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.0pt) node[above right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        %
        \coordinate (M) at (0,0,0.5);
        \coordinate (N) at (1,0,0.5);
        \fill[blue] (M) circle (1.0pt) node[below left] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.0pt) node[left] {$N$};
        
        % 待研究的线段
        \draw[dashed] (C) -- (M);
        \draw[dashed] (D1) -- (N);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.3-拓广探索8}
%    \label{fig:1.3-9}
\end{figure}




\newpage 

\textbf{拓广探索9.} $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个{\color{red}单位正交基底}，向量 $\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{c}$。$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是空间的另一个{\color{red}基底}，用基底 $\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 表示向量 $\boldsymbol{p}$.


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


